Diferencials - Què és això? Com trobar el diferencial de la funció?

Juntament amb els derivats les seves funcions diferencials - ET alguns dels conceptes bàsics del càlcul diferencial, la secció principal de l'anàlisi matemàtica. Com inextricablement lligat, tots dos d'ells diversos segles àmpliament utilitzats en la solució de gairebé tots els problemes que van sorgir en el curs de l'activitat científica i tècnica.

L'aparició del concepte de diferencial

Per primera vegada deixat clar que un diferencial d'aquest tipus, un dels fundadors (juntament amb Isaakom Nyutonom) càlcul diferencial famós matemàtic alemany Gotfrid Vilgelm Leybnits. Abans que els matemàtics del segle 17. utilitzat idea molt clar i vague d'alguns "indivís" infinitesimal de qualsevol funció coneguda, el que representa un valor molt petit constant però no igual a zero, per sota del qual els valors de la funció no pot ser simplement. Per tant, era només un pas per a la introducció de les nocions d'increments infinitesimals d'arguments de la funció i els seus respectius increments de les funcions que es poden expressar en termes de derivats d'aquest últim. I aquest pas es va donar gairebé al mateix temps els dos anteriors grans científics.

Sobre la base de la necessitat d'abordar urgents problemes mecànics pràctics que s'enfronta la ciència de ràpid desenvolupament de la indústria i la tecnologia, Newton i Leibniz van crear les formes més comuns de trobar les funcions de la taxa de canvi (especialment pel que fa a la velocitat mecànica del cos de la trajectòria coneguda), el que va portar a la introducció d'aquests conceptes, com la funció derivada i el diferencial, i també van trobar les solucions als problemes algoritme invers com de per si coneguda (variable) velocitats de travessar per trobar el camí que ha portat el concepte d'integral Ala.

En les obres d'idea de Leibniz i Newton principi semblava que els diferencials - és proporcional a l'increment dels arguments bàsics? H? O incrementa les funcions que es poden aplicar amb èxit per calcular el valor d'aquest últim. En altres paraules, han descobert que una funció d'increment pot ser en qualsevol punt (dins del seu domini de definició) s'expressa a través del seu derivat tant? O = i '(x)? H + αΔh on α? H - resta, tendint a zero com? H → 0, molt més ràpid que el? h real.

D'acord amb els fundadors d'anàlisi matemàtica, els diferencials - això és exactament el primer terme en increments de qualsevol funció. Fins i tot sense tenir un clarament definits seqüències concepte de límit s'entenen intuïtivament que el valor diferencial del derivat tendeix a funcionar quan? H → 0 -? O /? H → i '(x).

A diferència de Newton, que era principalment un físic i un aparell matemàtic considerat com una eina auxiliar per a l'estudi de problemes físics, Leibniz presta més atenció a aquest joc d'eines, incloent un sistema de símbols visuals i comprensibles valors matemàtics. Va ser ell qui va proposar la notació estàndard de la funció dels diferencials dy = i '(x) dx, dx, i la derivada de la funció argument com la seva relació i' (x) = dy / dx.

La definició moderna

Quin és el diferencial en termes de la matemàtica moderna? Està estretament relacionat amb el concepte d'un increment variable. Si la variable i dóna un primer valor de i i = _1, llavors i = i _2, la diferència i ₂ ─ i ₁ es diu el valor d'increment i. L'increment pot ser positiu. negativa i zero. La paraula "increment" es designa Δ ,? U gravació (llegiu 'delta i') denota el valor de l'increment i. tan? O = i ₂ ─ i _1.

Si el valor de? U funció arbitrària i = f (x) es pot representar com? U = A? H + α, on A és no dependència de? H, t. I. A = const per al x donat, i el terme α quan? H → 0 tendeix a és fins i tot més ràpid que l'actual? h, a continuació, la primera ( "master") un terme proporcional? h, i és per diferencial i = f (x), denotat di o df (x) (llegir "i de", "de eff de X"). Per tant diferencials - lineal "principal" pel que fa als components d'increments funcions? H.

explicació mecànica

Sigui s = f (t) - la distància en línia recta en moviment punt material des de la posició inicial (t - temps de viatge). Increment Delta S - és el punt de pas durant un interval de temps? T, i les ds diferencials = f '(t)? T - aquest camí, que punt es duria a terme per al mateix temps? T, si es retindrà la velocitat de f' (t), aconsegueix en el temps t . Quan un ds? T ruta imaginària infinitesimal difereix de les Delta S reals infinitesimalmente que té un ordre superior respecte? T. Si la velocitat en el moment t no és igual a zero, els ds valor aproximat dóna petit punt de polarització.

interpretació geomètrica

Deixeu que la línia L és la gràfica de y = f (x). Llavors Δ x = MQ ,? U = QM '(veure. Figura següent). Tangent MN trenca? O va tallar en dues parts, QN i NM '. Primer i? H és proporcional QN = MQ ∙ tg (Qmn angle) =? H f '(x), t. I QN és diferencial dy.

La segona part de la diferència? O NM'daet ─ di, quan? H longitud → 0 NM 'disminueix fins i tot més ràpid que l'increment de l'argument, és a dir, té l'ordre de petitesa més gran que? H. En aquest cas, si (x) ≠ 0 (OX tangents no paral·lela) segments de F 'QM'i QN equivalents; en altres paraules NM 'disminueix ràpidament (ordre de la petitesa de la seva més alt) que l'increment total? O = QM'. Això és evident en la Figura (segment acostar M'k M NM'sostavlyaet tot percentatge QM 'segment més petit).

Així, de forma gràfica diferencial funció arbitrària és igual a l'increment de l'ordenada de la tangent.

Derivada i diferencial

Un factor en el primer terme de la funció d'increment d'expressió és igual al valor de la seva derivada f '(x). Per tant, la següent relació - dy = f '(x)? H o df (x) = f' (x)? H.

Se sap que l'increment de l'argument independent és igual a la seva diferencial? H = dx. En conseqüència, podem escriure: f '(x) dx = dy.

Trobar (de vegades diu que és la "decisió") diferencials es porta a terme per les mateixes regles que per als derivats. Una llista d'ells és la següent.

El que és més universal: l'increment de la qüestió o el seu diferencial

Aquí cal fer alguns aclariments. Representació de valors f '(x) diferencial? H possible en considerar x com un argument. No obstant això, la funció pot ser un complex, en el qual x pot ser una funció de l'argument t. A continuació, la representació de l'expressió diferencial de f '(x)? H, per regla general, és impossible; excepte en el cas de dependència lineal x = a + b.

Pel que fa a la fórmula f '(x) dx = dy, a continuació, en el cas d'independent argument x (llavors dx =? H) en el cas de la dependència paramètrica de x t, és diferencial.

Per exemple, l'expressió 2 x? H és per a i = x ² el seu diferencial quan x és un argument. ara x = ^t2 i assumim t argument. Llavors i = x ² = t ^4.

Això és seguit per (t +? T) ² = t ² + 2tΔt + ^t2. Per tant? H = 2tΔt + ^t2. Per tant: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + ^t2).

Aquesta expressió no és proporcional a? T, i per tant és ara 2xΔh no està diferencial. Es pot trobar a partir de l'equació i = x ² = t ^4. És igual dy = 4t ^3? T.

Si prenem el 2xdx expressió, que és el diferencial i = x ² per a qualsevol argument t. De fet, quan x = t ² obtenir dx = 2tΔt.

Així 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ^3? T, t. E. Els diferencials d'expressió registrats per dues variables diferents coincideixen.

Substitució d'increments diferencials

Si f '(x) ≠ 0, llavors? U i equivalent di (quan? H → 0); Si f '(sentit i dy = 0) (x) = 0, no són equivalents.

Per exemple, si i = x ^2, a ^{continuació ,?} U = (x +? H) ² ─ x ² = 2xΔh +? H ² i di = 2xΔh. Si x = 3, llavors tenim? O = 6Δh +? H ² i dy = 6Δh que són equivalents a causa? H ² → 0, quan x = 0 valor? O =? H ² i di = 0 no són equivalents.

Aquest fet, juntament amb l'estructura simple de la diferència (m. E. linealitat respecte a? H), s'utilitza sovint en el càlcul aproximat, en el cas que di? O ≈ per a petites? H. Troba la funció diferencial és generalment més fàcil que per calcular el valor exacte de l'increment.

Per exemple, tenim cub metàl·lic amb la vora x = 10,00 cm. En escalfar la vora allargat en? H = 0,001 cm. Com augment del volum del cub V? Tenim V = x ^2, de manera que dV = 3x ² =? H 3 ∙ ∙ 0 10 ^2/01 = 3 (cm ^3). L'augment diferencial equivalent? V dV, de manera que? V = 3 cm ^3. càlcul complet donaria ^3? V = 10,01 ─ març ¹⁰ = 3,003001. Però el resultat de tots els dígits, excepte el primer poc fiable; per tant, encara cal arrodonir fins a 3 cm ^3.

Òbviament, aquest enfocament és útil només si és possible estimar el valor impartit amb l'error.

funció diferencial: exemples

Anem a tractar de trobar el diferencial de la funció y = x ^3, la recerca de la derivada. Donem l'increment argument? U i definim.

? O = (? H + x) ³ ─ x ³ = 3x ² +? H (? H 3xΔh ² + ^3).

Aquí, el coeficient A = 3x ² no depèn de? H, de manera que el primer terme és proporcional? H, l'altre membre 3xΔh? H ² + ³ quan? h → 0 disminueix més ràpid que l'increment de l'argument. En conseqüència, un membre de 3x ^2? H és el diferencial de y = x ^3:

dy = 3x ^2? h = 3x ² dx o d (x ³⁾ = 3x ² dx.

En la qual d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Ara trobem la funció i = 1 / x per la derivada. Llavors d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Per tant di = ─? H / x ^2.

Diferencials funcions algebraiques bàsiques es donen a continuació.

càlculs aproximats utilitzant diferencial

Per avaluar la funció f (x), i la seva derivada f '(x) en x = sovint és difícil, però per fer el mateix en l'entorn de x = a no és fàcil. A continuació, acudir en ajuda de l'expressió aproximada

f (a +? H) ≈ f '(a)? h + f (a).

Això dóna un valor aproximat de la funció en petits increments a través del seu diferencial? H f '(a)? H.

Per tant, aquesta fórmula dóna una expressió aproximada per a la funció en el punt final d'una porció d'una longitud? H com una suma del seu valor en el punt de partida de la porció (x = a) i el diferencial en el mateix punt de partida. L'exactitud del mètode per determinar els valors de la funció de sota il·lustra el dibuix.

No obstant això coneguda i l'expressió exacta per al valor de la funció x = a +? H proposta per increments finits fórmula (o, alternativament, la fórmula de Lagrange)

f (a +? H) ≈ f '(ξ)? h + f (a),

on el punt x = a + ξ està en l'interval des de x = a fins x = a +? h, encara que la seva posició exacta és desconeguda. La fórmula exacta permet avaluar l'error de la fórmula aproximada. Si posem en la fórmula de Lagrange ξ =? H / 2, tot i que deixa de ser exacta, però dóna, per regla general, un enfocament molt millor que l'expressió original en termes del diferencial.

fórmules d'avaluació d'error mitjançant l'aplicació diferencial

instruments de mesura , en principi, correcta, i portar a les dades de mesurament corresponents a l'error. Es caracteritzen per limitar l'error absolut, o, en definitiva, l'error límit - positiu, superant clarament l'error en valor absolut (o com a molt igual a ell). Limitar l'error relatiu es diu el quocient obtingut en dividir pel valor absolut del valor mesurat.

Deixi exacta fórmula i = f (x) la funció utilitzada per vychislyaeniya I, però el valor de x és el resultat del mesurament, i per tant ocasiona i error. A continuació, per trobar la limitació d'error absolut │Δu│funktsii i, utilitzant la fórmula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

on │Δh│yavlyaetsya argument d'error marginal. │Δu│ quantitat ha de ser arrodonit cap amunt, com propi càlcul inexacte és la substitució de l'increment en el càlcul diferencial.