Càlculs diferencials d'una funció d'una i diverses variables

El càlcul diferencial és una secció d'anàlisi matemàtica que estudia la derivada, les diferències i el seu ús en l'estudi d'una funció.

Història de l'aparença

El càlcul diferencial es va separar en una disciplina independent a la segona meitat del segle XVII, gràcies a les obres de Newton i Leibniz, que van formular les proposicions bàsiques en el càlcul de diferencials i van notar les connexions entre integració i diferenciació. A partir d'aquest moment, la disciplina es va desenvolupar juntament amb el càlcul d'integrals, formant així la base de l'anàlisi matemàtica. L'aparició d'aquests càlculs va obrir un nou període modern en el món matemàtic i va provocar l'aparició de noves disciplines en la ciència. També es va ampliar la possibilitat d'aplicar la ciència matemàtica a la ciència i la tecnologia naturals.

Conceptes bàsics

El càlcul diferencial es basa en els conceptes fonamentals de la matemàtica. Són: un nombre real, continuïtat, funció i límit. Al cap d'un temps van fer un aspecte modern, gràcies als càlculs integrals i diferencials.

Procés de creació

La formació del càlcul diferencial en forma de mètode aplicat i després científic es va produir abans de l'aparició de la teoria filosòfica creada per Nikolai Kuzansky. Les seves obres es consideren desenvolupament evolutiu des dels judicis de la ciència antiga. Tot i que el propi filòsof no era matemàtic, la seva contribució al desenvolupament de la ciència matemàtica és innegable. Kuzansky va ser un dels primers a abandonar la consideració de l'aritmètica com el camp més exacte de la ciència, posant en dubte les matemàtiques d'aquella època.

En els matemàtics antics, el criteri universal era una unitat, mentre que el filòsof va oferir com a nova mesura un infinit en lloc d'un nombre exacte. En aquest sentit, la representació de la precisió en la ciència matemàtica s'inverteix. El coneixement científic, segons ell, es divideix en racional i intel·lectual. El segon és més precís, segons el científic, ja que el primer dóna només un resultat aproximat.

Idea

La idea i el concepte bàsics en el càlcul diferencial es relacionen amb la funció en barris petits de certs punts. Per a això, és necessari crear un aparell matemàtic per a l'estudi d'una funció el comportament del qual en un petit veïnat dels punts establerts estigui a prop del comportament d'un polinomi o una funció lineal. Això es basa en la definició de la derivada i el diferencial.

L'aparició del concepte de derivada va ser causada per una gran quantitat de problemes de les ciències naturals i les matemàtiques, la qual cosa va conduir a la recerca de valors de límits d'un tipus.

Una de les tasques principals que es dóna com a exemple, començant per les classes de secundària, és la determinació de la velocitat d'un punt en línia recta i la construcció d'una línia tangent a aquesta corba. El diferencial es relaciona amb això, ja que és possible aproximar la funció en un petit barri del punt de la funció lineal en qüestió.

En comparació amb el concepte de la derivada d'una funció d'una variable real, la definició de diferencials simplement passa a una funció d'una naturalesa general, en particular, a la imatge d'un espai euclidià en un altre.

La derivada

Deixeu que el punt es mogui al llarg de la direcció de l'eix Oy, amb el temps prenem x, que es mesura des d'un cert inici del moment. Descriviu aquest moviment per la funció y = f (x), que correspon a cada moment momentual x de la coordenada del punt mogut. Aquesta funció en mecànica hauria de cridar-se la llei del moviment. La característica principal del moviment, en particular desigual, és la velocitat instantània. Quan el punt es mou al llarg de l'eix Oy segons la llei de la mecànica, llavors en un temps aleatori x adquireix la coordenada f (x). En el moment momentual x + Δx, on Δx denota l'increment de temps, el seu cadinat serà f (x + Δx). Així és com es forma la fórmula Δy = f (x + Δx) - f (x), que s'anomena increment de la funció. Representa una ruta travessada en un temps de x a x + Δx.

En relació amb l'aparició d'aquesta velocitat, un derivat s'introdueix a l'instant del temps. En una funció arbitrària, la derivada en un punt fix s'anomena límit (sota la condició de la seva existència). Pot ser designat per certs símbols:

F '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

El procés de càlcul d'un derivat s'anomena diferenciació.

Càlcul diferencial d'una funció de diverses variables

Aquest mètode de càlcul s'utilitza en l'estudi d'una funció amb diverses variables. En presència de dues variables x i y, la derivada parcial respecte de x en el punt A es diu derivada d'aquesta funció respecte a x amb i fix.

Es pot denotar pels següents caràcters:

F '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x o ∂f (x, y) '/ ∂x.

Habilitats requerides

Per aprendre i ser capaç de resoldre difusors, calen habilitats d'integració i diferenciació. Per facilitar l'enteniment de les equacions diferencials, cal comprendre bé el tema de la derivada i la integral indefinida. També no fa mal aprendre a buscar un derivat d'una funció implícitament definida. Això es deu al fet que, en el procés d'estudi, sovint és necessari utilitzar integrals i diferenciar.

Tipus d'equacions diferencials

Pràcticament en totes les obres de control relacionades amb les equacions diferencials de primer ordre, hi ha 3 tipus d'equacions: homogènies, amb variables separables, lineals no homogènies.

També hi ha varietats més rares d'equacions: amb diferencials complets, les equacions de Bernoulli i altres.

Fonaments de la solució

Per començar, cal recordar equacions algebraiques del curs escolar. Contenen variables i nombres. Per resoldre l'equació ordinària, és necessari trobar un conjunt de nombres que satisfacin la condició donada. Com a regla general, aquestes equacions tenien una arrel, i per verificar la correcció només era necessari substituir aquest valor pel lloc del desconegut.

L'equació diferencial és similar a aquesta. En general, aquesta equació de primer ordre inclou:

• Variable independent.
• La derivada de la primera funció.
• Funció o variable dependent.

En alguns casos, una de les incògnites, x o y, pot estar absent, però això no és tan important, ja que és necessari tenir la primera derivada, sense derivats d'ordres superiors, de manera que la solució i el càlcul diferencial siguin correctes.

Per resoldre l'equació diferencial es troba el conjunt de totes les funcions que s'ajusten a l'expressió donada. Tal conjunt de funcions sol anomenar-se la solució general de DW.

Càlcul integral

El càlcul integral és una de les seccions d'anàlisi matemàtica que estudia el concepte d'una integral, les propietats i els mètodes de la seva computació.

Sovint, el càlcul de la integral es produeix al calcular l'àrea d'una figura curvilínia. Per aquesta àrea es vol dir el límit al qual l'àrea d'un polígon inscrit en una figura determinada tendeix a augmentar gradualment el seu costat, mentre que els costats es poden realitzar menys que qualsevol petit valor arbitrari especificat prèviament.

La idea principal de calcular l'àrea d'una figura geomètrica arbitrària és calcular l'àrea d'un rectangle, és a dir, demostrar que la seva àrea és igual al producte de longitud i ample. Pel que fa a la geometria, totes les construccions es realitzen utilitzant una regla i una brúixola, i la relació de longitud a amplada és un valor racional. Quan es calcula l'àrea d'un triangle rectangular, es pot determinar que si posa el mateix triangle al seu costat, es forma un rectangle. En el paral·lelogram, l'àrea es calcula mitjançant un mètode similar, però lleugerament més complicat, a través d'un rectangle i un triangle. En els polígons, l'àrea s'explica a través dels triangles que l'introdueixen.

Quan es determina la pietat d'una corba arbitrària, aquest mètode no funciona. Si la trenqueu en quadrats simples, hi haurà seients buits. En aquest cas, intenteu utilitzar dues cobertes, amb rectangles a la part superior i inferior, com a conseqüència d'això s'inclou un gràfic de funció i no s'inclouen. Important és la manera de trencar aquests rectangles. A més, si prenem més i més avaries, la zona de dalt i per sota ha de convergir en un determinat valor.

Cal tornar al mètode de dividir en rectangles. Hi ha dos mètodes populars.

Riemann va formalitzar la definició de la integral, creada per Leibniz i Newton, com l'àrea del subgrafo. En aquest cas, vam considerar les figures formades per una sèrie de rectangles verticals que es van obtenir dividint el segment. Quan hi ha un límit a la reducció de la ruptura, a la qual es redueix l'àrea d'aquesta xifra, aquest límit s'anomena la integral de Riemann d'una funció en un interval determinat.

El segon mètode és la construcció de la integral de Lebesgue, que consisteix a dividir el seu interval de valors en intervals per dividir el domini en parts de la integració i després compilar la suma integral dels valors obtinguts en aquestes parts, i després sumar-los amb les corresponents mesures dels preimatges d'aquestes integrals.

Beneficis moderns

Un dels principals manuals sobre l'estudi del càlcul diferencial i integral va ser escrit per Fichtenholz, "El Curs del Càlcul Diferencial i Integral". El seu llibre de text és una ajuda fonamental en l'estudi de l'anàlisi matemàtica, que ha resistit moltes publicacions i traduccions a altres idiomes. Va ser creat per a estudiants universitaris i ha estat utilitzat en diverses institucions educatives com una de les principals guies d'estudi. Proporciona dades teòriques i habilitats pràctiques. Va ser publicat per primera vegada el 1948.

Algorisme de recerca funcional

Per investigar els mètodes de la funció de càlcul diferencial, cal seguir l'algoritme ja definit:

1. Trobeu el domini de la funció.
2. Trobeu les arrels d'una equació donada.
3. Calcular extrema. Per fer-ho, calculeu la derivada i els punts on és igual a zero.
4. Substituïm el valor obtingut en l'equació.

Varietats d'equacions diferencials

DU del primer ordre (en altres paraules, el càlcul diferencial d'una variable) i els seus tipus:

• Equació amb variables separadores: f (i) dy = g (x) dx.
• Les equacions més senzilles, o el càlcul diferencial d'una funció d'una variable, tenen la fórmula: y '= f (x).
• Un DN no homogeni lineal del primer ordre: y '+ P (x) i = Q (x).
• L'equació diferencial de Bernoulli: i '+ P (x) i = Q (x) i ^a .
• Equació amb diferencials totals: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Equacions diferencials del segon ordre i els seus tipus:

• Una equació diferencial lineal homogènia del segon ordre amb valors constants del coeficient: y ⁿ + py '+ qy = 0 p, q pertany a R.
• Una equació diferencial no homogènia lineal del segon ordre amb un valor constant dels coeficients: y ⁿ + py '+ qy = f (x).
• Equació diferencial homogènia lineal: y ⁿ + p (x) y '+ q (x) y = 0, i una equació no homogènia del segon ordre: y ⁿ + p (x) y' + q (x) y = f (x).

Equacions diferencials de comandes superiors i els seus tipus:

• Equacions diferencials que permeten un ordre decreixent: F (x, y ^(k) , y ^{(k + 1)} , .., y ⁽ⁿ⁾ = 0.
• L'equació lineal d'ordre superior és homogènia: y ⁽ⁿ⁾ + f _(n-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0 , i no uniforme: y ⁽ⁿ⁾ + f _{(n -1)} y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x) .

Passos de resoldre un problema amb una ecuación diferencial

Amb l'ajuda del DU, no només es resolen qüestions matemàtiques o físiques, sinó també diversos problemes de la biologia, l'economia, la sociologia i altres. Malgrat una àmplia varietat de temes, cal seguir una única seqüència lògica a l'hora de resoldre aquests problemes:

1. Elaboració del DM. Una de les etapes més difícils, que requereix la màxima precisió, ja que qualsevol error conduirà a resultats completament incorrectes. Cal tenir en compte tots els factors que influeixen en el procés i determinar les condicions inicials. També s'ha de basar en fets i inferències lògiques.
2. Solució de l'equació compilada. Aquest procés és més senzill que el primer punt, ja que només requereix càlculs matemàtics estrictes.
3. Anàlisi i avaluació dels resultats. Cal avaluar la solució resultant per establir el valor teòric i pràctic del resultat.

Un exemple de l'ús d'equacions diferencials en medicina

L'ús de DM en el camp de la medicina es troba en la construcció d'un model matemàtic epidemiològic. No s'ha d'oblidar que aquestes equacions també es produeixen en biologia i química, que són pròximes a la medicina, ja que és important estudiar les diferents poblacions biològiques i processos químics en el cos humà.

En l'exemple donat amb l'epidèmia, és possible considerar la propagació de la infecció en una societat aïllada. Els habitants es divideixen en tres tipus:

• Infectat, nombre x (t), format per individus, portadors d'infecció, cadascun dels quals és contagiós (el període d'incubació és curt).
• La segona espècie inclou individus susceptibles de i (t), capaços de contreure's quan estan en contacte amb els infectats.
• La tercera espècie inclou els individus no susceptibles z (t), que són immunes o morts a causa de la malaltia.

El nombre de persones és constant, els registres de naixement, les morts naturals i la migració no es tenen en compte. Hi haurà dues hipòtesis en la base.

El percentatge de morbiditat en un moment determinat és x (t) y (t) (la suposició es basa en la teoria de que el nombre de casos és proporcional al nombre d'interseccions entre pacients i representants susceptibles, que en la primera aproximació serà proporcional a x (t) y (t), A causa d'això, el nombre de casos augmenta, i el nombre de persones susceptibles disminueix amb la velocitat, que es calcula mitjançant la fórmula ax (t) i (t) (a> 0).

El nombre d'individus insensibles que van adquirir immunitat o morts augmenta a un ritme proporcional al nombre de casos, bx (t) (b> 0).

Com a resultat, és possible compilar un sistema d'equacions tenint en compte els tres indicadors i treure conclusions sobre la seva base.

Exemple d'ús en l'economia

El càlcul diferencial es fa servir sovint en l'anàlisi econòmica. La tasca principal en l'anàlisi econòmica és l'estudi de les quantitats de l'economia, que s'escriuen en forma de funció. Això s'utilitza per resoldre problemes com ara els canvis en els ingressos immediatament després dels augments d'impostos, la introducció de deures, els canvis en els ingressos de la companyia quan el valor de la producció canvia, en quina proporció es poden reemplaçar els treballadors substituïts per nous equips. Per resoldre aquestes preguntes, es requereix construir una funció d'enllaç a partir de les variables entrants, que després s'utilitzen mitjançant càlculs diferencials.

sovint és necessari per trobar el rendiment més òptim en l'esfera econòmica: la màxima productivitat, els ingressos més alts, menor cost i així successivament. Cada un d'aquests components és una funció d'un o més arguments. Per exemple, la producció pot ser considerada com una funció de treball i capital. Referent a això, la recerca d'un valor adequat pot reduir-se a trobar el màxim o mínim d'una funció d'una o més variables.

Tals problemes creen una classe de problemes extremals en el camp econòmic, per a això necessita el càlcul diferencial. Quan es requereix l'indicador econòmic per minimitzar o maximitzar com una funció d'altres paràmetres, la funció de punt de màxima relació d'increment als arguments tendirà a zero si l'increment de l'argument tendeix a zero. En cas contrari, quan aquesta actitud tendeix a un cert valor positiu o negatiu, el punt especificat no és adequat, ja que augmentant o disminuint l'argument pot canviar valor depenent en la direcció desitjada. En la terminologia de càlcul diferencial, això significaria que les condicions requerides per a la funció màxima és un valor zero de la seva derivat.

L'economia no és un problema poc comú de trobar el valor extrem d'una funció de diverses variables, ja que els indicadors econòmics es componen de molts factors. Aquestes qüestions es coneixen bé a la teoria de funcions de diverses variables, el mètode de càlcul del diferencial. Tals problemes inclouen no només maximitza i funció minimitzada, però també limitacions. Aquestes preguntes es refereixen a la programació matemàtica, i que es resolen amb l'ajuda de mètodes especialment desenvolupats també es basa en aquesta branca de la ciència.

Entre els mètodes de càlcul diferencial utilitzats en l'economia, una secció important és l'última prova. En el pla econòmic, el terme es refereix a un conjunt de mètodes d'investigació de rendiment variable i es produeix quan canvia el volum de la creació, el consum, basat en una anàlisi dels seus valors límit. Limitar derivat indicació considerat o les derivades parcials amb diverses variables.

Càlcul diferencial de diverses variables - un tema important de l'anàlisi matemàtica. Per a un estudi detallat, es pot utilitzar una varietat de material didàctic per a les institucions d'educació superior. Un dels més famosos creats Fikhtengol'ts - "del càlcul diferencial i integral." Quina part del nom per a la solució d'equacions diferencials de considerable importància per tenir els coneixements necessaris per treballar amb les integrals. Quan hi ha un càlcul diferencial de funcions d'una variable, la decisió es fa més fàcil. Encara que, cal assenyalar, que segueix les mateixes regles bàsiques. A la pràctica, per investigar la funció del càlcul diferencial, només has de seguir l'algoritme ja existent, que es dóna a l'escola secundària, i només una mica complicat amb la introducció de noves variables.