Funció periòdica: conceptes generals

Sovint, a l'hora d'estudiar els fenòmens de la naturalesa, propietats químiques i físiques de diverses substàncies, així com resoldre problemes tècnics complexos, cal trobar processos caracteritzats per la periodicitat, és a dir, una tendència a repetir després d'un cert període de temps. Per a la descripció i la representació gràfica d'aquesta cíclicitat en la ciència, hi ha una funció d'un tipus especial: una funció periòdica.

L'exemple més simple i comprensible és la inversió del nostre planeta al voltant del Sol, en el qual tot el temps la distància que varia entre ells obeeix als cicles anuals. De la mateixa manera, la pala de la turbina torna al seu lloc, després d'haver realitzat una revolució completa. Tots aquests processos es poden descriure amb un valor tan matemàtic com una funció periòdica. En general, tot el món és cíclic. Això vol dir que la funció periòdica també ocupa un lloc important en el sistema de coordenades humanes.

La necessitat de la ciència matemàtica en la teoria de nombres, la topologia, les equacions diferencials i els càlculs geomètrics precisos van provocar l'aparició a la XIX e segle d'una nova categoria de funcions amb propietats poc usuals. Són funcions periòdiques que prenen valors idèntics en certs punts com a conseqüència de transformacions complexes. Ara s'apliquen en moltes branques de la matemàtica i altres ciències. Per exemple, en l'estudi de diversos efectes vibracionals en la física d'ona.

Diferents llibres de text matemàtic donen diferents definicions de la funció periòdica. No obstant això, independentment d'aquestes discrepàncies en les formulacions, tots són equivalents, ja que descriuen les mateixes propietats de la funció. La següent definició pot ser la més senzilla i comprensible. Funcions els valors numèrics no estan subjectes a canvis, si afegim al seu argument un nombre diferent de zero, el període anomenat de la funció, denotat per la lletra T, s'anomena periòdic. Què significa tot això a la pràctica?

Per exemple, una simple funció de la forma: y = f (x) es fa periòdica en el cas en què X té un valor definitiu de període (T). A partir d'aquesta definició es desprèn que si el valor numèric d'una funció que té un període (T) es defineix en un dels punts (x), llavors el seu valor també es coneix als punts x + T, x = T. Un punt important aquí és que quan La funció igual a zero es converteix en una identitat. Una funció periòdica pot tenir un nombre infinit de períodes diferents. En la majoria dels casos, entre els valors positius de T, hi ha un període amb el menor índex numèric. Es diu el període principal. I tots els altres valors de T sempre són múltiples. Aquesta és una altra propietat interessant i molt important per a diversos camps de la ciència.

El gràfic d'una funció periòdica també té diverses singularitats. Per exemple, si T és el període principal de l'expressió: y = f (x), al construir la gràfica d'una determinada funció, n'hi ha prou amb construir una branca en un dels intervals de la longitud del període, i després transferir-la al llarg dels eixos x als següents valors: ± T, ± 2T , ± 3T i així successivament. En conclusió, cal assenyalar que no totes les funcions periòdiques tenen un període de base. Un exemple clàssic d'això és la funció del matemàtic alemany Dirichlet de la següent forma: y = d (x).