Un sistema d'equacions lineals. sistema homogeni d'equacions algebraiques lineals

A l'escola, cada un de nosaltres van estudiar l'equació i, sens dubte, el sistema d'equacions. No obstant això, moltes persones no saben que hi ha diverses formes de resoldre'ls. Avui anem a veure exactament tots els mètodes per resoldre un sistema d'equacions lineals, que es componen de més de dues equacions.

història

Avui sabem que l'art de resoldre equacions i els seus sistemes es va originar a l'antiga Babilònia i Egipte. No obstant això, la igualtat en la seva forma familiar se'ns va aparèixer després de l'aparició del signe igual "=", que va ser introduït a 1556 per la discogràfica matemàtic anglès. Per cert, aquest símbol va ser triat per una raó: que significa dues segments iguals paral·leles. De fet, el millor exemple de la igualtat no apareix.

El fundador de lletres modernes i símbols de grau desconegut, el matemàtic francès Fransua Viet. No obstant això, la seva designació és significativament diferent de l'actual. Per exemple, un quadrat d'un nombre desconegut es designa amb la lletra Q (lat "quadrat".), I el cub - (lat. "Cubus") la lletra C. Aquests símbols ara se senten incòmodes, però llavors era la forma més intuïtiva per escriure un sistema d'equacions lineals.

No obstant això, un desavantatge en els mètodes predominants de solució era que els matemàtics han considerat només les arrels positives. Potser això es deu al fet que els valors negatius no tenen cap aplicació pràctica. D'una manera o una altra, però el primer a tenir en compte les arrels negatives van començar després que les matemàtiques italià Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Raphael Bombelli al segle 16. Un aspecte modern, el principal mètode de resolució de equacions quadràtiques (a través discriminant) es va establir només en el segle 17 a través de les obres de Descartes i Newton.

Al mig del matemàtic suís del segle 18 Gabriel Cramer va trobar una nova manera de fer que la solució de sistemes d'equacions lineals més fàcil. Aquest mètode va ser nomenada més endavant després d'ell, i fins al dia que l'utilitzen. No obstant això, en el mètode de la xerrada de Kramer una mica més tard, però per ara anem a parlar d'equacions lineals i les seves solucions per separat del sistema.

equacions lineals

equacions lineals - l'equació més simple amb la variable (s). Pertanyen a la algebraica. equacions lineals escrits en la forma general de la següent manera: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... i _n * x _n = b. La presentació d'aquesta forma necessitarem en la preparació de sistemes i matrius successivament.

Un sistema d'equacions lineals

La definició d'aquest terme és: un conjunt d'equacions que tenen incògnites comuns i la solució general. En general, a l'escola tot resolt un sistema amb dues o fins i tot tres equacions. No obstant això, hi ha sistemes amb quatre o més components. Vegem primer com escriure-les perquè més tard que era convenient per a resoldre. En primer lloc, el sistema d'equacions lineals es veurà millor si totes les variables s'escriuen com x amb l'índex corresponent: 1,2,3 i així successivament. En segon lloc, hauria de conduir totes les equacions de la forma canònica: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... i _n * x _n = b.

Després de tots aquests passos, podem començar a dir-li com trobar la solució de sistemes d'equacions lineals. Molt per això vindrà en la matriu de la mà.

matriu

Matrix - una taula que consta de files i columnes, i els seus elements estan en la seva intersecció. Això pot ser ja sigui un valor o variable específica. En la majoria dels casos, per designar elements que estan disposats sota dels subíndexs (per exemple, un així ₁₁ o _23). El primer índex indica el nombre de fila, i el segon - la columna. matrius anteriors com a dalt i qualsevol altre element matemàtic poden realitzar diverses operacions. Per tant, es pot:

1) Restar i afegir la mateixa mida de la taula.

2) Multiplicar la matriu a qualsevol número o vector.

3) Transposició: transformar línies de matriu en les columnes, i les columnes - en línia.

4) Multiplicar la matriu, si el nombre de files és igual a una d'elles un nombre diferent de columnes.

Per discutir en detall totes aquestes tècniques, ja que són útils per a nosaltres en el futur. La resta i l'addició de matrius és molt simple. Des prenem la mateixa matriu de mida, cada element d'una taula està relacionada amb tots els altres elements. D'aquesta manera afegim (restar) dos d'aquests elements (és important que els que estaven drets en el mateix terreny en les seves matrius). Quan es multiplica pel nombre de matriu o vector simplement multiplicar cada element de la matriu per aquest nombre (o vector). Transposició - un procés molt interessant. De vegades molt interessant de veure-ho a la vida real, per exemple, en canviar l'orientació d'una tauleta o telèfon. Les icones a l'escriptori és una matriu, i amb un canvi de posició, es traslladen i es fa més àmplia, però disminueix en alçada.

Examinem més d'un procés com la multiplicació de matrius. Tot i que ens va dir, i no és útil i tingueu en compte que segueix sent útil. Multiplicar dues matrius poden ser només sota la condició que el nombre de columnes d'una taula és igual al nombre de files altres. Ara pren elements d'una línia de la matriu i altres elements de la columna corresponent. Multiplicar l'un a l'altre i després suma (és a dir, per exemple, un producte d'elements ₁₁ i ₁₂ i en ₁₂ b i ₂₂ b serà igual a: a * b _{11 12} + ₁₂ * b i _22). Així, un sol element de la taula, i un mètode similar al que s'omple més.

Ara podem començar a considerar la forma de resoldre els sistemes d'equacions lineals.

gauss

Aquest tema va començar a tenir lloc a l'escola. Sabem molt bé el concepte de "sistema de dues equacions lineals" i sabem com resoldre'ls. Però el que si el nombre d'equacions és més gran que dos? Això ens ajudarà mètode de Gauss.

Per descomptat, aquest mètode és còmode d'usar, si fas una matriu del sistema. Però no es pot convertir i decidir per si mateix.

Per tant, la forma de resoldre-mitjançant un sistema d'equacions lineals de Gauss? Per cert, tot i que aquest mètode i que porta el seu nom, però va descobrir que en els temps antics. Gauss té una operació portada a terme amb les equacions, per donar com a resultat, finalment, en la totalitat de la forma esglaonada. És a dir, es necessita de dalt a baix (si es col·loca correctament) des de la primera fins a l'última equació minvat una incògnita. En altres paraules, cal assegurar-se que el que tenim, diguem, tres equacions: la primera - tres incògnites, en el segon - dos al tercer - un. Després, a partir de l'última equació, ens trobem amb el primer desconegut, substituir el seu valor en la segona o la primera equació, i trobar encara més les dues variables restants.

la regla de Cramer

Per al desenvolupament d'aquesta tècnica és vital per a dominar les habilitats de suma, resta de matrius, així com la necessitat de ser capaç de trobar els factors determinants. Per tant, si no se sent còmode fent això tots o no sap com, cal aprendre i ser entrenat.

Quina és l'essència d'aquest mètode, i com fer-ho, per aconseguir un sistema d'equacions lineals Cramer? És molt simple. Necessitem construir una matriu de nombres (gairebé sempre) els coeficients d'un sistema d'equacions lineals. Per això, només cal prendre el nombre del desconegut, i vam organitzar una taula en l'ordre en què es registren en el sistema. Si abans que el número és un signe "-", llavors escrivim coeficient negatiu. Per tant, hem realitzat la primera matriu dels coeficients de les incògnites, sense incloure el nombre després del signe igual (per descomptat, que l'equació ha de ser reduït a la forma canònica quan el dret és només un número, i l'esquerra - totes les incògnites amb coeficients). Després cal fer algunes matrius - un per a cada variable. Per a aquest propòsit, en la primera matriu es substitueix per una columna cadascun números de columna amb els coeficients després del signe igual. Així aconseguim un parell de matrius i després trobar els seus determinants.

Després trobem la fase de classificació, és petit. Tenim una matriu inicial, i hi ha diverses matrius derivades, que corresponen a diferents variables. Per obtenir una solució de sistema, dividim el determinant de la taula resultant en el determinant principal de la taula. El nombre resultant és el valor d'una variable. De la mateixa manera, ens trobem amb totes les incògnites.

altres mètodes

Hi ha diversos mètodes per tal d'obtenir la solució de sistemes d'equacions lineals. Per exemple, un anomenat mètode de Gauss-Jordan, que s'utilitza per a la recerca de solucions del sistema d'equacions quadràtiques, i també es refereix a l'ús de matrius. També hi ha un mètode de Jacobi per resoldre un sistema d'equacions lineals. S'adapta fàcilment a tots els equips i s'utilitza en el càlcul.

casos complicats

La complexitat en general es produeix si el nombre d'equacions és menor que el nombre de variables. A continuació, sens dubte podem dir que, o el sistema és inconsistent (és a dir, no té arrels), o el nombre de les seves decisions tendeix a infinit. Si tenim el segon cas - que és necessari escriure la solució general del sistema d'equacions lineals. S'hi han d'incloure almenys una variable.

conclusió

Aquí arribem al final. Per resumir: hem d'entendre el que la matriu del sistema, va aprendre a trobar la solució general d'un sistema d'equacions lineals. A més hem considerat altres opcions. Ens vam adonar de com resoldre els sistemes d'equacions lineals: eliminació de Gauss i la regla de Cramer. Parlem dels casos difícils i altres formes de trobar solucions.

De fet, aquesta qüestió és molt més àmplia, i si es vol entendre millor, li aconsellem que llegeixi més de la literatura especialitzada.