Linear i l'equació diferencial homogènia de la primera ordre. exemples de solucions

Crec que cal començar amb la història de l'eina matemàtica gloriós com equacions diferencials. Igual que tot el càlcul diferencial i integral, aquestes equacions van ser inventats per Newton al segle 17. El creia que era el seu descobriment tan important que fins i tot el missatge xifrat, que avui en dia es pot traduir així: "Totes les lleis de la natura descrita per les equacions diferencials." Pot semblar una exageració, però és cert. Qualsevol llei de la física, química, biologia, pot ser descrita per aquestes equacions.

Una enorme contribució al desenvolupament i la creació de la teoria de les equacions diferencials tenen les matemàtiques d'Euler i Lagrange. Ja en el segle 18 que van descobrir i van desenvolupar el que avui s'estudia en els cursos universitaris d'alt nivell.

Una nova fita en l'estudi de les equacions diferencials començar gràcies a Anri Puankare. Va crear una "teoria qualitativa de les equacions diferencials", el que, combinat amb la teoria de funcions de variable complexa contribuir significativament a la base de la topologia - la ciència de l'espai i de les seves propietats.

Quines són les equacions diferencials?

Molta gent té por de la frase "equació diferencial". No obstant això, en aquest article exposarem en detall l'essència d'aquesta eina matemàtica molt útil que en realitat no és tan complicat com sembla des del títol. Per tal de començar a parlar d'una equació diferencial de primer ordre, primer ha de familiaritzar-se amb els conceptes bàsics que són inherentment associats amb aquesta definició. I anem a començar amb el diferencial.

diferencial

Molta gent coneix aquest terme des de la secundària. No obstant això, encara pensar-hi en detall. Imagini la gràfica de la funció. Podem augmentar la quantitat fins al punt que qualsevol del seu segment es converteix en una línia recta. Que prendrà dos punts que són infinitament prop un de l'altre. La diferència entre les seves coordenades (X o Y) és infinitesimal. I es diu diferencial i caràcters designar di (diferencial de i) i dx (el diferencial de x). És important entendre que el diferencial no és el valor Finalment, i aquest és el significat i la funció principal.

I ara ha de tenir en compte els següents elements, que necessitarem per explicar el concepte d'equació diferencial. És - derivat.

derivat

Tots nosaltres ha d'haver sentit a l'escola i aquesta noció. Diuen que la derivada - és la taxa de creixement o la disminució de la funció. No obstant això, aquesta definició es torna més confús. Anem a tractar d'explicar els termes derivats dels diferencials. Tornem a la funció d'interval infinitesimal amb dos punts, que es troben a una distància mínima entre si. Però fins i tot més enllà d'aquesta funció distància és hora de canviar a algun valor. I per descriure que el canvi i arribar a un derivat que d'una altra manera s'escriu com la relació de les diferències de: f (x) '= df / dx.

Ara bé, cal tenir en compte les propietats bàsiques de la derivada. Hi ha només tres:

1. suma derivat o la diferència es poden representar com la suma o diferència dels derivats de: (a + b) '= a' + b 'i (ab)' = a '-b'.
2. La segona propietat està connectada amb la multiplicació. Les obres derivades - és la suma dels treballs d'una funció a una altra derivat: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. La derivada de la diferència es pot escriure com la següent equació: (a / b) '= (a' * BA * b ') / b ^2.

Totes aquestes característiques són útils per a la recerca de solucions a les equacions diferencials de primer ordre.

També, hi ha derivades parcials. Suposem que tenim una funció de la z, que depèn de les variables x i y. Per calcular la derivada parcial d'aquesta funció, per exemple, en x, hem de prendre la variable i constant i de fàcil diferenciar.

integral

Un altre concepte important - integral. De fet, és el contrari de la derivada. Integrals de diversos tipus, però les solucions més simples d'equacions diferencials, que necessiten els més trivials integrals indefinides.

Per tant, el que és la integral? Diguem que tenim alguna relació f de x. Prenem que la integral i obtenir una funció F (x) (es refereix sovint com una primitiva), que és un derivat de la funció original. Per tant F (x) '= f (x). Això també implica que la integral de la derivada és igual a la funció original.

En la resolució d'equacions diferencials és molt important entendre el significat i la funció de la integral, ja que molt sovint han de prendre ells per trobar solucions.

Les equacions són diferents depenent de la seva naturalesa. A la següent secció veurem tipus d'equacions diferencials de primer ordre i, a continuació, aprendre a resoldre'ls.

Les classes d'equacions diferencials

"Diffury" dividit per l'ordre dels derivats que hi intervenen. Així, hi ha una primera, segona, tercera o més ordre. També es poden dividir en diverses classes: ordinàries i parcials.

En aquest article, anem a considerar les equacions diferencials ordinàries de primer ordre. Exemples i solucions que discuteixen en les següents seccions. Considerem que només el TAC perquè són els tipus més comuns d'equacions. Ordinària divideix en subespècies: amb variables separables, homogènies i heterogènies. A continuació, aprendrà com es diferencien els uns dels altres, i aprendre a resoldre'ls.

A més, aquestes equacions es poden combinar, de manera que després que vam aconseguir un sistema d'equacions diferencials de primer ordre. Tals sistemes, també miren i aprenen com resoldre.

Per què estem considerant només el primer ordre? A causa de que cal començar amb un simple i descriure tots els associats a les equacions diferencials, en un sol article és impossible.

Equacions amb variables separables

Aquest és potser el més simples equacions diferencials de primer ordre. Aquests són exemples que es poden escriure com: i '= f (x) * f (i). Per resoldre aquesta equació necessitem la fórmula de representació de la derivada com la relació dels diferencials: i '= dy / dx. Amb ella s'obté l'equació: dy / dx = f (x) * f (i). Ara podem canviar el mètode de resolució d'exemples estàndard: separar les variables en parts, és a dir, l'avanç ràpid tota la variable i en la part on hi ha di, i també fer que la variable x ... Obtenim una equació de la forma: dy / f (i) = f (x) dx, que s'aconsegueix mitjançant l'adopció de les integrals de les dues parts. No us oblideu de la constant que voleu afegir després de la integració.

La solució de qualsevol "diffura" - és una funció de x per i (en el nostre cas), o si hi ha una condició numèrica, la resposta és un nombre. Examinem un exemple concret de tot el curs de la decisió:

i '= 2y * sin (x)

Transferir les variables en diferents direccions:

dy / i = 2 * sin (x) dx

Des d'aquí, prendre les integrals. Tots ells es poden trobar en una taula especial d'integrals. I obtenim:

ln (i) = -2 * cos (x) + C

Si cal, podem expressar la "i" en funció de "X". Ara podem dir que la nostra equació diferencial es resol, si no s'especifica condició. Pot ser especificat condició, per exemple, i (n / 2) = e. A continuació, anem a substituir simplement el valor d'aquestes variables en la decisió i trobar el valor de la constant. En el nostre exemple, és 1.

equacions diferencials de primer ordre homogeni

Ara a les parts més complexes. Homogenis equacions diferencials de primer ordre poden ser escrits en forma general com: i '= z (x, y). Cal tenir en compte que la funció correcta de dues variables és uniforme, i no es pot dividir en dues, depenent de: z x i z de i. Comproveu si l'equació és homogènia o no, és bastant simple: fem la substitució x = k * x i y = k * i. Ara tallem tot k. Si s'eliminen aquestes cartes, llavors l'equació homogènia i es pot procedir amb seguretat a la seva solució. De cara al futur, diem: el principi de la solució d'aquests exemples és també molt simple.

Hem de fer que la substitució: i = T (x) * x, on t - una funció que també depèn de x. Llavors podem expressar el derivat: i '= t' (x) * x + t. Substitució de tot això en la nostra equació original i simplificar-ho, tenim l'exemple de la separació de variables com x t. Resoldre-i obtenir la dependència de t (x). Quan ho aconseguim, només ha de substituir la nostra anterior substitució i = T (x) * x. Llavors obtenim la dependència de y sobre x.

Per fer-ho més clar, entendrem un exemple: x * i '= i x * i i / x.

En comprovar la substitució de tota la baixa. Per tant, l'equació és molt homogènia. Ara faci una altra substitució, parlem de: i = T (x) * x i y '= t' (x) * x + t (x). Després de la simplificació de la següent equació: t '(x) * x = -i t. Ens vam decidir a aconseguir una mostra amb variables separades i ^{obtenim: i -t = ln (C *} x). Només hem de substituir t per i / x (ja que si i = t * x, t = i / x), i obtenim la ^{resposta: i -i / x = ln (} x * C).

equació diferencial lineal de primer ordre

És hora de considerar un altre tema molt ampli. Anem a veure les equacions diferencials de primer ordre heterogenis. Com es diferencien dels dos anteriors? Siguem realistes. equacions diferencials de primer ordre lineal en la forma general de l'equació es pot escriure així: i '+ g (x) * i = z (x). Ha d'aclarir que z (x) i g (x) pot ser valors constants.

Heus aquí un exemple: i '- i * x = x ^2.

Hi ha dues maneres de resoldre, i que ordenen Examinem tots dos. El primer - el mètode de variació de constants arbitràries.

Per resoldre l'equació d'aquesta manera, cal igualar la primera part dreta a zero, i resoldre l'equació resultant, que després de la transferència de les peces es converteix en:

i '= i * x;

dy / dx = i * x;

dy / i = xdx;

ln | i | = x ^2/2 + C;

i = i ^{x2 / 2} * ^C i = C ₁ * i ^{x2 / 2.}

Ara bé, cal substituir la constant _C1 sobre la funció v (x), que ens trobarem.

i = v * i ^{x2 / 2.}

Dibuixeu un derivat de substitució:

^{i '= v' * i x2} / ² -x * v * i ^{x2 / 2.}

I substituint aquestes expressions en l'equació original:

v '* i ^{x2 / 2} - x * v * i ^{x2 / 2} + x * v * i ^{x2 / 2} = x ^2.

Es pot veure que a la banda esquerra dels dos termes es redueixen. Si algun exemple que no va ser així, llavors vostè ha fet una cosa dolenta. continuem:

v '* i ^{x2 / 2} = x ^2.

Ara resolem l'equació habitual en el qual voleu separar les variables:

dv / dx = x ^{2 /} i ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Per eliminar la integral, hem d'aplicar la integració per parts aquí. No obstant això, aquest no és el tema d'aquest article. Si està interessat, pot aprendre pel seu compte per dur a terme aquestes accions. No és difícil, i amb la suficient habilitat i cura no és molt de temps.

Fent referència a la segona mètode la solució de les equacions no homogènies: Mètode de Bernoulli. Què enfocament és més ràpid i més fàcil - li toca a vostè.

Així, en la resolució d'aquest mètode, hem de fer la substitució: i = k * n. Aquí, K i N - algunes funcions depenent de x. A continuació, el derivat es veurà com: i '= k' * n + k * n '. Substituts dues substitucions en l'equació:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grup amunt:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Ara bé, cal equiparar a zero, és a dir entre parèntesis. Ara, si es combinen les dues equacions resultants, s'obté un sistema d'equacions diferencials de primer ordre que cal resoldre:

n '+ x * n = 0;

* K 'n = x ^2.

La primera igualtat decidir com l'equació habitual. Per a això, cal separar les variables:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Prenem la integral i obtenim: ln (n) = x ^2/2. Llavors, si expressem n:

n = i ^{x2 / 2.}

Ara substituir l'equació resultant en la segona equació:

k '* i ^{x2 / 2} = x ^2.

I la transformació, s'obté la mateixa equació que en el primer mètode:

dk = x ^{2 /} i ^x2 / ^2.

Així mateix, no parlarem de noves mesures. Es diu que en un primer moment les equacions diferencials de primer ordre solució provoca considerables dificultats. No obstant això, una immersió més profunda en el tema està començant a ser millor i millor.

On són les equacions diferencials?

equacions diferencials molt actius utilitzats en la física, ja que gairebé totes les lleis bàsiques estan escrites en forma diferencial, i aquestes fórmules, que veiem - una solució a aquestes equacions. En química, s'utilitzen per la mateixa raó: les lleis bàsiques es deriven a través d'ells. En biologia, les equacions diferencials s'utilitzen per modelar el comportament de sistemes, com ara depredador - presa. També es poden usar per crear models de la reproducció, per exemple, colònies de microorganismes.

Com les equacions diferencials ajuden a la vida?

La resposta a aquesta pregunta és simple: res. Si vostè no és un científic o un enginyer, és poc probable que seran útils. No obstant això, no està de més saber el que l'equació diferencial i es resol per al desenvolupament global. I llavors la pregunta d'un fill o filla, "el que és una equació diferencial?" no li posarà en un carreró sense sortida. Bé, si vostè és un científic o enginyer, llavors vostè sap la importància d'aquest tema en qualsevol ciència. Però el més important, que ara a la pregunta "¿com resoldre l'equació diferencial de primer ordre?" vostè sempre serà capaç de donar una resposta. D'acord, sempre és agradable quan t'adones que el que la gent, fins i tot por de descobrir-ho.

Els principals problemes en l'estudi

El principal problema en la comprensió d'aquest tema és un mal hàbit de les funcions d'integració i diferenciació. Si se sent incòmode ASSUMEIX derivades i integrals, és probablement val més que aprendre, aprendre diferents mètodes d'integració i diferenciació, i només llavors procedir a l'estudi del material que s'ha descrit en l'article.

Algunes persones es sorprenen en saber que dx es pot transferir, com anteriorment (a l'escola) van argumentar que la fracció dy / dx és indivisible. Després cal llegir la literatura del derivat i d'entendre que és l'actitud de les quantitats infinitament petites, que poden ser manipulats en la solució d'equacions.

Moltes persones no s'adonen immediatament que la solució d'equacions diferencials de primer ordre - això és sovint una funció o neberuschiysya integral, i aquesta il·lusió els dóna un munt de problemes.

Què més es pot estudiar per entendre millor?

El millor és començar més immersió en el món del càlcul diferencial dels llibres de text especialitzats, per exemple, en l'anàlisi matemàtica per als estudiants d'especialitats no matemàtiques. A continuació, pot passar a la literatura més especialitzada.

Es diu que, a més de la diferència, encara hi ha equacions integrals, de manera que sempre tindrà alguna cosa que busquen i què estudiar.

conclusió

Esperem que després de llegir aquest article vostè tindrà una idea del que les equacions diferencials i la forma de resoldre'ls correctament.

En qualsevol cas, les matemàtiques en qualsevol forma útil per a nosaltres a la vida. Es desenvolupa la lògica i l'atenció, sense la qual tot home, ja que sense les mans.