Progressió geomètrica. Exemple de decisió

Penseu una fila.

7 28 112 448 1792 ...

mostra molt clarament que el valor de qualsevol dels seus elements més de les anteriors exactament quatre vegades. Per tant, aquesta sèrie és una progressió.

progressió geomètrica anomenat seqüència infinita de nombres, la característica principal dels quals és que el nombre següent s'obté a partir de l'anterior mitjançant la multiplicació per un nombre definit. Això s'expressa per la següent fórmula.

_{un z 1 = a z · q} , on z - número de l'element seleccionat.

Per tant, z ∈ N.

Un moment en què l'escola s'estudia la progressió geomètrica - novè grau. Els exemples ajuden a comprendre el concepte:

0,25 0,125 0,0625 ...

Juny 18 de febrer de ...

En base a aquesta fórmula, la progressió de la denominador es pot obtenir com segueix:

Ni q, ob _z no pot ser zero. A més, cada un dels elements d' una sèrie de nombres progressió no ha de ser zero.

Per tant, per a vore el nombre d'un nombre, es multiplica l'últim per q.

Per definir aquesta progressió, s'ha d'especificar el primer element de la mateixa i el denominador. Després que és possible trobar qualsevol dels següents membres i el seu import.

espècies

Depenent de la Q i un _1, aquesta progressió es divideix en diversos tipus:

• Si un _1, i q és més gran que un, llavors una seqüència - que augmenta amb cada element successiu d'una progressió geomètrica. Exemples dels mateixos es detallen a continuació.

Exemple: un ₁ = 3, q = 2 - més gran que la unitat, tots dos paràmetres.

A continuació, una seqüència de nombres es pot escriure com:

Març 6 12 24 48 ...

• Si | q | menor que un, és a dir, és equivalent a multiplicació per divisió, la progressió amb condicions similars - la disminució de la progressió geomètrica. Exemples dels mateixos es detallen a continuació.

Exemple: un ₁ = 6, q = 1/3 - un ₁ és més gran que un, q - menys.

A continuació, una seqüència de nombres es pot escriure així:

Febrer 6 2/3 ... - qualsevol element que més elements següents, és a dir 3 vegades.

• Alterna. Si q <0, els signes dels nombres de la seqüència alterna constantment, independentment d'un _1, i els elements de qualsevol augment o disminució.

Exemple: _{1 gen} = -3, q = -2 - estan a menys de zero.

A continuació, una seqüència de nombres es pot escriure com:

3, 6, -12, 24, ...

fórmula

Per a un ús convenient, hi ha molts progressió geomètrica de les fórmules:

• Fórmula z-èsim terme. Permet el càlcul de l'element en un nombre específic sense calcular els números anteriors.

Exemple: q = 3, a = ₁ 4. necessari calcular el quart progressió element.

Solució: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• La suma dels primers elements, el nombre és igual a z. Es permet el càlcul de la suma de tots els elements en una seqüència a un inclusivament _z.

≠ 0, per tant, q no és 1 - (q 1) Ja que (1- q) és en el denominador, llavors.

Nota: si q = 1, llavors la progressió hauria representat una sèrie de repetir sense parar el nombre.

Quantitat exponencialment exemples: a ₁ = 2, q = -2. Calcular S _5.

Solució: S ₅ = 22 - fórmula de càlcul.

• Suma si | q | <1 i quan z tendeix a infinit.

Exemple: un ₁ = _2, q = 0,5. Troba la suma.

Solució: S _z = 2 x = 4

Si calculem la suma de diversos membres del manual, veurà que és de fet el compromís de quatre.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Algunes propietats:

• Una propietat característica. Si la següent condició Es compleix per a qualsevol z, a continuació, dóna una sèrie numèrica - una progressió geomètrica:

un _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• També és el quadrat de qualsevol nombre és exponencialment per mitjà de l'addició dels quadrats dels altres dos nombres en qualsevol fila donada, si són equidistants de l'element.

² una _Z = a _{z - t} ² _{+ z} + _t ² on t - la distància entre aquests nombres.

• Els elements es diferencien pels temps de q.
• Els logaritmes dels elements de progressió, així formen una progressió, però l'aritmètica, és a dir, cada un d'ells més de l'anterior per un determinat nombre.

Exemples d'alguns problemes clàssics

Per entendre millor el que és una progressió geomètrica, amb els exemples de decisió per al grau 9 pot ajudar.

• Termes i condicions: a ₁ = 3, a = ₃ 48. Recerca q.

Solució: cada element successiu en més que l'anterior q temps. Cal expressar alguns elements a través d'una altra via denominador.

En conseqüència, un ₃ = q ² · _{1 gener}

Quan la substitució de q = 4

• Condicions: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Calcular S _6.

Solució: Per a això, només cal assenyalar q, el primer element i substituir en la fórmula.

un ₃ = q · a _2, en conseqüència, q = 2

a ₂ = q · A _1, pel a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Trobar el quart element de progressió.

Solució: és suficient per expressar el quart element a través de la primera i mitjançant el denominador.

_{Abril 1} = ³ = q · a = ₁ -80

Exemple d'aplicació:

• client del banc ha contribuït a la suma de 10.000 rubles, en virtut del qual cada any el client a la quantitat principal s'afegirà el 6% d'ell però. Quants diners hi ha en el compte després de 4 anys?

Solució: La quantitat inicial igual a 10 mil rubles. Així, un any després que les inversions en el compte serà la quantitat equivalent a 10.000 + 10.000 = 10.000 · · 0,06 1,06

En conseqüència, l'import en el compte, fins i tot després d'un any es pot expressar així:

(10.000 · 1,06) · 10.000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

És a dir, cada any la quantitat va augmentar a 1,06 vegades. Per tant, per trobar el número del compte després de 4 anys, és suficient per trobar un quart progressió element, que es dóna primer element igual a 10 mil, i el denominador igual a 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Exemples de problemes en el càlcul de la suma de:

En diversos problemes usant progressió geomètrica. Un exemple de la recerca de la suma es pot establir com segueix:

a ₁ = 4, q = 2, calcular S _5.

Solució: se sap que totes les dades necessàries per al càlcul, simplement substituir ells en la fórmula.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = ₃ 18. Calcular la suma dels primers sis elements.

solució:

El Geom. el progrés de cada element de la següent més gran que les vegades q anteriors, és a dir, per calcular la quantitat que necessita saber un element ₁ i el denominador q.

_febrer 1 · q = un ₃

q = 3

De la mateixa manera, la necessitat de trobar un _1, un ₂ i complicitat q.

gener ₁ · q = ₁ feb

a ₁ = 2

I a continuació, només cal substituir les dades conegudes en la quantitat fórmula.

S ₆ = 728.