Maclaurin i la descomposició d'algunes funcions

L'estudi de les matemàtiques avançades han de ser conscients que la suma d'una sèrie de potències en l'interval de convergència de diversos de nosaltres, és un nombre continu i il·limitat de vegades que una funció diferenciada. Sorgeix la pregunta: ¿és possible argumentar que donat una arbitrària funció f (x) - és la suma d'una sèrie de potències? És a dir, en quines condicions el-cions f f (x) pot ser representat per una sèrie de potències? La importància d'aquesta qüestió és que és possible reemplaçar aproximadament £ Teològic f (x) és la suma dels primers termes d'una sèrie de potències, és un polinomi. Tal funció de reemplaçament és bastant simple expressió - polinòmica - és convenient i en la resolució de certs problemes en l'anàlisi matemàtica, és a dir, en la solució de les integrals en el càlcul de les equacions diferencials , etc ...

Es demostra, que per alguna f-ii f (x), en el qual els derivats de la (n + 1) -ésima fi poden calcular-se, incloent l'últim en el veïnatge de (α - R; x ₀ + R) d'un punt x = α fórmula fira és:

Aquesta fórmula porta el nom del famós científic Brooke Taylor. Un nombre de les quals es deriva de l'anterior, es diu una sèrie de Maclaurin:

Una regla que fa possible la producció d'expansió en una sèrie de Maclaurin:

1. Determinar derivats de primer, segon, tercer, ... ordre.
2. Càlcul del que són derivats en x = 0.
3. Rècord de la sèrie de Maclaurin per a aquesta funció, i després per a determinar l'interval de convergència.
4. Determinar interval (-R, R), on la part residual de fórmula Maclaurin

R _n (x) -> 0 per n -> infinit. Si existeix, que la funció f (x) ha de ser igual a la suma de la sèrie de Maclaurin.

Considerem ara la sèrie de Maclaurin per a les funcions individuals.

1. Així, el primer a ser F (x) = e ^x. Per descomptat, que les seves característiques ho f-Ia ha derivat una varietat d'ordres, i f ^{(k) (x)} = I ^x, on k és igual a tots els nombres naturals. Substitut de x = 0. Obtenim f ^{(k) (0)} = i ⁰ = 1, k = 1,2 ... Amb base en l'anterior, un nombre de correus ^x Serà de la següent manera:

2. sèrie de Maclaurin per a la funció f (x) = sin x. Immediatament especificar que F-cions per a tots els derivats desconeguts tindrà, a més de f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sen x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), on k és igual a qualsevol enter positiu. És a dir, fer càlculs senzills, es pot concloure que la sèrie de f (x) = sin x serà la següent:

3. Ara considerarem IJU f-f (x) = cos x. És desconegut per a tots els derivats d'ordre arbitrari, i ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Un cop més, després d'haver fet alguns càlculs, ens trobem amb que la sèrie de f (x) = cos x es veurà així:

Per tant, oferim una llista de les característiques més importants que es poden desenvolupar en sèrie de Maclaurin, però complementar la sèrie de Taylor per a algunes funcions. Ara farem una llista d'ells. També cal assenyalar que les sèries de Taylor i de Maclaurin sèries són una part important de la sèrie de tallers de decisions en les matemàtiques superiors. Per tant, la sèrie de Taylor.

1. La primera és una sèrie de f-ii f (x) = ln (1 + x). Com en els exemples anteriors, d'aquest que f (x) = ln (1 + x) es pot plegar un nombre, utilitzant la forma general de la sèrie de Maclaurin. però per a aquesta funció Maclaurin es pot obtenir molt més fàcil. La integració d'una sèrie geomètrica, obtenim un nombre per f (x) = ln (1 + x) de la mostra:

2. I el segon, que serà definitiva en aquest article, hi haurà una sèrie de f (x) = arctan x. Per x pertanyents a l'interval [-1; 1] és la descomposició vàlid:

Això és tot. En aquest article he estudiat la sèrie de Taylor més usat i sèrie de Maclaurin en les matemàtiques superiors, sobretot en els col·legis tècnics i econòmics.